Question

某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=

x2

5

-48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

Answer 1

分析：（1）利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．
（2）利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值．

解答：解：（1）设每吨的平均成本为W（万元/T），
则 W=

y

x

=

x

5

+

8000

x

-48≥2

x 5 • 8000 x

-48=32（0＜x＜210），（4分）
当且仅当

x

5

=

8000

x

，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．（6分）
（2）设年利润为u（万元），则 u=40x-(

x2

5

-48x+8000)=-

x2

5

+88x-8000=-

1

5

(x-220)2+1680．（11分）
所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．（12分）

点评：本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足：一正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴．