Question

【题目】如图，已知点列、、、、（）依次为函数图像上的点，点列、、、（）依次为轴正半轴上的点，其中（），对于任意，点、、构成一个顶角的顶点为的等腰三角形.

（1）证明：数列是等差数列；

（2）证明：为常数，并求出数列的前项和；

（3）在上述等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析；（3）存在;的值为，，

【解析】

（1）利用点列为函数图像上的点，可求出的通项公式,进而可证明结论;

（2）与是等腰三角形,可得,两式相减可得到,进而可求得数列的前项和;

（3）要使为直角三角形,可得,结合数列的通项公式,分类讨论可求得的值.

（1）点列、、、、（）依次为函数图像上的点，所以,,则.

故数列是等差数列；

（2）与是等腰三角形,可得,相减可得,即为常数.

,,令,得,

因为,所以数列的奇数项可以构成一个以为首项,公差为2的等差数列,

数列的偶数项可以构成一个以为首项,公差为2的等差数列,

当为奇数时,,当为偶数时,,

则数列的前项和.

（3）要使为直角三角形,则,即,

当为奇数时,,则,即,

,为奇数,

当,得,当,得,时,不符合题意.

当为偶数时,,则,即,

当,得,时,不符合题意.

综上所述,存在直角三角形,此时的值为.