Question

在平面直角坐标系中,有一个以F₁(0,)和F₂(0,)为焦点,离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A,B,且向量.

求:(1)点M的轨迹方程;

(2)||的最小值.

Answer 1

解:(1)椭圆方程可写为

=1,式中b＜a,

且,得a²=4,b²=1,故曲线C的方程为x²+=1(x＞0,y＞0).

y=(0＜x＜1),y′=.

设P(x₀,y₀),因P在C上,有0＜x₀＜1,y₀=2,y′=,得切线AB的方程为

y=(x-x₀)+y₀.

设A(x,0),B(0,y),由切线方程得x=,y=.

由得M的坐标为(x,y),

由x₀,y₀满足C的方程,得点M的轨迹方程为=1(x＞1,y＞2).

(2)∵||²=x²+y²且y²==4+,

∴||²=x²-1++5≥4+5=9.

且当x²-1=时,即x=＞1时,上式等号成立.

故||的最小值为3.