Question

如图，已知椭圆

x2

2

+y2=1，A、B为椭圆与x轴的交点，DA⊥AB，CB⊥AB，且|DA|=3

2

，|CB|=

2

，动点P在x轴上方的

AB

上移动，则S_△PCD的最小值______．

Answer 1

过点P作PH垂直x轴，并且交x轴于点H，
因为椭圆的方程为：

x2

2

+y2=1，并且动点P在x轴上方的

AB

上移动，
所以设点P（

2

cosθ，sinθ）．
因为S_梯形ABCD=

( 2 +3 2 )×2 2

2

=8，并且S_梯形ABCD=S_梯形AHPD+S_梯形HBCP+S_△PCD，
所以若S_△PCD最小，则S_梯形AHPD+S_梯形HBCP最大．
因为S_梯形AHPD+S_梯形HBCP=

(sinθ+3 2 )( 2 + 2 cosθ)

2

+

(sinθ+ 2 )( 2 - 2 cosθ)

2

=

2

sinθ+2cosθ+4=

6

sin（θ+α）+4，
所以由三角函数的性质可得：

2

sinθ+2cosθ+8的最大值为

6

+4，
所以S_△PCD最小值为：8-（

6

+4）=4-

6

．
故答案为：4-

6

．