Question

已知函数f（x）=x²-alnx（a＞0）
（1）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用导数的几何意义求切线方程．（2）利用导数求出函数的极大值和极小值，利用f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．
解答：解：（1）a=2，f（x）=x²-2lnx，f'（x）=x-，f'（1）=-1，f（1）=，
f（x）在（1，f（1））处的切线方程为2x+2y-3=0．
（2）由，
由a＞0及定义域为（0，+∞），令f'（x）=0得x=，
①若，即0＜a≤1在（1，e）上，f'（x）＞0，f（x）在（1，e）上单调递增，
因此，f（x）在区间[1，e]的最小值为f（1）=．
②若1，即1＜a＜e²在（1，）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减；在（）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间[1，e]上的最小值为．
③若，即a≥e²在（1，e）上，f'（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，
因此f（x）在区间[1，e]上的最小值为．
综上，当0＜a≤1时，；当1＜a＜e²时，；
当a≥e²时，，
可知当0＜a≤1或a≥e²时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．
当1＜a＜e²时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则
∴，即，此时，e．
所以，a的取值范围为（e，）．
点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的性质，考查学生的运算能力．综合性较强．