Question

若圆上恰好存在两个点P，Q，他们到直线l：3x+4y-12=0的距离为1，则称该圆为“完美型”圆．下列圆中是“完美型”圆的是（　　）

A．x²+y²=1

B．x²+y²=16

C．（x-4）²+（y-4）²=4

D．（x-4）²+（y-4）²=16

Answer 1

分析：根据题意，算出到直线l距离等于1的两条平行线方程为3x+4y-7=0或3x+4y-17=0，当圆与这两条直线共有2个公共点时满足该圆为“完美型”圆．由此对A、B、C、D各项中的圆分别加以判断，可得本题答案．

解答：解：设直线l'：3x+4y+m=0，l'与l的距离等于1
则

|-12-m|

5

=1，解之得m=-7或-17，即l'的方程为3x+4y-7=0或3x+4y-17=0
可得当圆与3x+4y-7=0、3x+4y-17=0恰好有2个公共点时，满足该圆为“完美型”圆．
对于A，因为原点到直线l'的距离d=

7

5

或

17

5

，两条直线都与x²+y²=1相离
故x²+y²=1上不存在点，使点到直线l：3x+4y-12=0的距离为1，故A不符合题意
对于B，因为原点到直线l'的距离d=

7

5

或

17

5

，两条直线都与x²+y²=16相交
故x²+y²=16上不存在4个点，使点到直线l：3x+4y-12=0的距离为1，故B不符合题意
对于C，因为点（4，4）到直线l'的距离d=

21

5

或

11

5

，两条直线都与（x-4）²+（y-4）²=4相离
故（x-4）²+（y-4）²=4上不存在点，使点到直线l：3x+4y-12=0的距离为1，故C不符合题意
对于D，因为点（4，4）到直线l'的距离d=

21

5

或

11

5

，
所以两条直线中3x+4y-7=0与（x-4）²+（y-4）²=16相离，而3x+4y-17=0（x-4）²+（y-4）²=16相交
故（x-4）²+（y-4）²=16上恰好存在两个点P、Q，使点到直线l：3x+4y-12=0的距离为1，故D符合题意
故选：D

点评：本题给出“完美型”圆的定义，判断几个圆中是否为“完美型”圆．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．