题目内容

已知函数f（x）=ax²-2x+lnx．
（Ⅰ）若f（x）无极值点，但其导函数f'（x）有零点，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求a的取值范围，并证明f（x）的极小值小于 $数学公式$ ．

解（Ⅰ）首先，x＞0 $\text{[math]}$
f′（x）有零点而f（x）无极值点，表明该零点左右f′（x）同号，故a≠0，且2ax²-2x+1=0的△=0．由此可得 $\text{[math]}$
（Ⅱ）由题意，2ax²-2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，a＞0．
解得： $\text{[math]}$
设2ax²-2x+1=0的两根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，
因为在区间（0，x₁），（x₂，+∞）上，f′（x）＞0，
而在区间（x₁，x₂）上，f′（x）＜0，故x₂是f（x）的极小值点．
因f（x）在区间（x₁，x₂）上f（x）是减函数，如能证明 $\text{[math]}$ ，则更有 $\text{[math]}$
由韦达定理， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ，其中设 $\text{[math]}$ ，
利用导数容易证明g（t）当t＞1时单调递减，而g（1）=0，
∴g（t）=lnt- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ＜0，
因此f（ $\text{[math]}$ ）＜- $\text{[math]}$ ，
从而有f（x）的极小值f（x₂）＜- $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）首先，x＞0 $\text{[math]}$ 利用f′（x）有零点而f（x）无极值点，表明该零点左右f′（x）同号，故△=0．由此可得 $\text{[math]}$ 即可；
（Ⅱ）先由题意，2ax²-2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，解得： $\text{[math]}$ ，再设2ax²-2x+1=0的两根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，利用导数研究函数f（x）的极值点，从而得出证明．
点评：解决本题时要注意题目中所应用的函数的思想，要使的函数无极值点，表明该零点左右f′（x）同号即可，这种思想经常用到．