Question

数列｛a_n｝的前n项和记为S_n,已知a₁=1,a_n+1=S_n(n=1,2,3,…).证明：

（1）数列{}是等比数列；

（2）S_n+1=4a_n.

Answer 1

证明:(1)∵a_n+1=S_n+1－S_n,a_n+1=S_n,

∴(n+2)S_n=n(S_n+1－S_n).

整理得nS_n+1=2(n+1)S_n,

∴=2·.

故{}是以2为公比的等比数列.

（2）由已知得a_n=S_n－1 (n≥2),又由（1）知=4·(n≥2).

于是S_n+1=4(n+1)·=4a_n(n≥2).

又a₂=3S₁=3,故S₂=a₁+a₂=4.

因此对于任意正整数n≥1，都有S_n+1=4a_n.

点评:本例考查了灵活运用所学知识的能力,分析问题及推理的能力.(1)将已知递推关系式中的a_n+1用S_n+1－S_n表示,将其化为只含有和的关系式求解.(2)把(1)和已知结合通过构造法得证.