Question

如图，在正方形ABCD中，M是边BC的中点，N是边CD上一点，且CN=3DN，设∠MAN=α，那么sinα的值等于

 

．

Answer 1

分析：由题意可得 tan∠MAB=

1

2

，tan∠DAN=

1

4

，利用两角和的正切公式可得tan∠（ MAB+∠DAN ）的值，再利用诱导公式可得cot α 的值，由 1+cot²α=csc²α=

1

sin2α

，求得 sinα 的值．

解答：解：设正方形的边长为1，由题意可得 tan∠MAB=

1

2

，tan∠DAN=

1

4

，
tan∠（ MAB+∠DAN ）=

1 2 + 1 4

1- 1 2 • 1 4

=

6

7

，∴cot α=tan∠（ MAB+∠DAN ）=

6

7

，
∴1+cot²α=

85

49

=csc²α=

1

sin2α

，∴sinα=

49 85

=

7 85

85

，
故答案为

7 85

85

．

点评：本题考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，求出cotα=

6

7

，是解题的关键．