题目内容
在ABC中，已知内角A=
，BC=2
，设内角B=x，周长为y．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调递增区间．
| π |
| 3 |
| 3 |
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调递增区间．
分析：（I）根据正弦定理，算出AC=4sinx且AB=4sin（
-x），由此得到三角形周长关于x的表达式，再利用三角恒等变换的公式进行化简，即可得到函数y=f（x）的解析式和定义域；
（II）由正弦函数的单调增区间的公式解出x的范围，并结合x∈（0，
）取交集，即可得到函数y=f（x）的单调递增区间．
| 2π |
| 3 |
（II）由正弦函数的单调增区间的公式解出x的范围，并结合x∈（0，
| 2π |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）由正弦定理，得
=
∴AC=
sinx=4sinx…．（2分）
同理，
=
，得AB=4sin（
-x）…．（4分）
∴y=4sinx+4sin（
-x）+2
=4
sin（x+
）+2
…．（6分）
所以，函数y=f（x）的解析式为y=4
sin（x+
）+2
，定义域为{x|0＜x＜
}…．（7分）
（Ⅱ）要求函数y=4
sin(x+
)+2
的单调递增区间，
则须满足：2kπ-
≤x+
≤2kπ+
(k∈Z)，…（8分）
即2kπ-
≤x≤2kπ+
(k∈Z)…（10分）
又∵0＜x＜
，∴取k=0得0≤x＜
因此，函数y=f（x）的单调递增区间为(0 ，
)…（12分）
| AC |
| sinx |
2
| ||
sin
|
∴AC=
2
| ||||
|
同理，
| AB | ||
sin(
|
2
| ||
sin
|
| 2π |
| 3 |
∴y=4sinx+4sin（
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
所以，函数y=f（x）的解析式为y=4
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
（Ⅱ）要求函数y=4
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
则须满足：2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
即2kπ-
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
又∵0＜x＜
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
因此，函数y=f（x）的单调递增区间为(0 ，
| π |
| 3 |
点评：本题以三角形的周长为载体，求函数函数y=f（x）的解析式、定义域和单调区间．着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
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