题目内容
若f（x）在R上可导，（1）求f（-x）在x=a处的导数与f（x）在x=-a处的导数的关系；
（2）证明：若f（x）为偶函数，则f′（x）为奇函数．
分析：（1）利用导数的定义，求出f（-x）在x=a处的导数与f（x）在x=-a处的导数，比较即可；
（2）利用导数的定义，求出f′（x），然后判断其奇偶性．
（2）利用导数的定义，求出f′（x），然后判断其奇偶性．
解答：（1）解：设f（-x）=g（x），则
g′（a）=
=
=-
=-f′（-a）．
∴f（-x）在x=a处的导数与f（x）在x=-a处的导数互为相反数．
（2）证明：f′（-x）=
=
=-
=-f′（x）．
∴f′（x）为奇函数．
g′（a）=
| lim |
| △x→0 |
| g(a+△x)-g(a) |
| △x |
=
| lim |
| △x→0 |
| f(-a-△x)-f(-a) |
| △x |
=-
| lim |
| -△x→0 |
| f(-a-△x)-f(-a) |
| -△x |
=-f′（-a）．
∴f（-x）在x=a处的导数与f（x）在x=-a处的导数互为相反数．
（2）证明：f′（-x）=
| lim |
| △x→0 |
| f(-x+△x)-f(-x) |
| △x |
=
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
=-
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
=-f′（x）．
∴f′（x）为奇函数．
点评：用导数的定义求导数时，要注意△y中自变量的变化量应与△x一致．
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