Question

已知函数，数列{a_n}，{b_n}满足：a₁＞0，b₁＞0，a_n=f（a_n-1），b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2）．
（1）求a₁的取值范围，使得对?n∈N^*，都有a_n+1＞a_n；
（2）若a₁=3，b₁=4，求证：对?n∈N^*都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）由=，知==．由a_n＞0（n∈N^*），知要使对?n∈N^*，都有a_n+1＞a_n，只须a₂＞a₁，由此能求出a₁的取值范围．
（2）当a₁=3时，由a_n+1＞a_n，得，又a₁=3，，由b_n+1＜b_n，得（n∈N），由此能够证明有．
解答：（1）解：∵=，（1分）
∴=
==
=（4分）
∵当x＞0时，又a₁＞0，
∴a_n＞0（n∈N^*）
要使对?n∈N^*，都有a_n+1＞a_n，只须a₂＞a₁，即
解得．（6分）
（2）证明：当a₁=3时，由（1）知a_n+1＞a_n，即，解得，
又a₁=3则．（7分）
当b₁=4时，由（1）知b_n+1＜b_n，得（n∈N^*）（8分）
∴b_n-a_n＞0（n∈N^*）
∴．（n∈N^*）（12分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．