Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2

3

，BC=6
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角P-BD-A的大小．

Answer 1

分析：解法一：（I）由已知中底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=90°，且PA⊥平面ABCD，我们结合线面垂直的性质及勾股定理，可以得到BD与平面PAC中两个相交直线PA，AC均垂直，进而根据线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）连接PE，可得∠AEP为二面角P-BD-A的平面角，解三角形AEP即可得到二面角P-BD-A的大小．
解法二：（I）以A为坐标原点，建立空间坐标系，根据向量垂直，数量积为零，判断出BD⊥AP，BD⊥AC，再由线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）分别求出平面PBD与平面ABD的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角P-BD-A的大小．

解答：解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD．∴BD⊥PA．
又tanABD=

AD

AB

=

3

3

，tanBAC=

BC

AB

=

3

．∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．
又PA∩AC=A．∴BD⊥平面PAC．
…．．（6分）

（Ⅱ）连接PE．∵BD⊥平面PAC．∴BD⊥PE，BD⊥AE．∴∠AEP为二面角P-BD-A的平面角．
在Rt△AEB中，AE=AB•sinABD=

3

，
∴tanAEP=

AP

AE

=

3

，∴∠AEP=60°，∴二面角P-BD-A的大小为60°．            …．．（12分）
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，
则A（0，0，0），B(2

3

，0，0)，C(2

3

，6，0)，D（0，2，0），P（0，0，3），
∴

AP

=(0，0，3)，

AC

=(2

3

，6，0)，

BD

=(-2

3

，2，0)，∴

BD

•

AP

=0，

BD

•

AC

=0．
∴BD⊥AP，BD⊥AC，
又PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．

（Ⅱ）设平面ABD的法向量为m=（0，0，1），
设平面PBD的法向量为n=（x，y，1），
则n•

BP

=0，n•

BD

=0∴

-2 3 x+3=0 -2 3 x+2y=0

解得

x= 3 2 y= 3 2

∴n=(

3

2

，

3

2

，1)．
∴cos＜m，n＞=

m•n

|m||n|

=

1

2

．∴二面角P-BD-A的大小为60°．

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，（I）的关键是熟练掌握空间中直线与平面垂直的判定定理，（II）的关键法一是得到∠AEP为二面角P-BD-A的平面角，法二是求出平面PBD与平面ABD的一个法向量．