Question

【题目】已知椭圆的焦点在圆上，且椭圆上一点与两焦点围成的三角形周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过圆上一点作圆的切线交椭圆于两点，证明：点在以为直径的圆内.

Answer 1

【答案】（1） （2）证明见解析

【解析】

（1）焦点在圆上，可得，由焦点三角形周长求得，然后再求得，从而得椭圆方程；

（2）直线的斜率不存在时，直接求出坐标，到圆心距离小于半径即可，直线的斜率存在时，设直线的方程为，由直线与圆相切得出参数的关系，直线方程代入椭圆方程，由韦达定理得，然后证明，即得．

（1）∵圆与轴的交点为，∴

∵椭圆上一点与两焦点围成的三角形周长为

∴ ∴ ∴

∴椭圆的方程为

（2）当直线的斜率不存在时，两点的坐标分别为

此时点到中点的距离为1，以为直径的圆的半径为

∵，∴点在以为直径的圆内；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为

因为直线与圆相切，所以，即

联立，化简得：

∴

∴

∴即 ∴点在以为直径的圆内

综上所述，点在以为直径的圆内.