题目内容
已知椭圆E：
+
=1(a＞b＞
＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，上、下顶点分别为B1、B2，四边形B1F1B2F2的一个内角等于
，椭圆过点P（1，
）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线l的斜率等于椭圆E的离心率，且交椭圆于A、B两点，直线PA和PB分别交x轴于点M、N，求证：|PM|=|PN|．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| a2-b2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线l的斜率等于椭圆E的离心率，且交椭圆于A、B两点，直线PA和PB分别交x轴于点M、N，求证：|PM|=|PN|．
分析：（1）由b＞
=c，知∠F1B1F2=
，所以
=cos
=
，设所求椭圆方程为
+
=1，把点P（1，
）代入，能求出椭圆方程．
（2）c=
=1，离心率e=
，设直线l的方程为y=
x+m，代入椭圆方程，得x2+mx+m2-3=0，所以x1+x2=-m，x1x2=m2-3，要证|PM|=|PN|，只需证直线PA的斜率k1与直线PB的斜率k2互为相反数．
| a2-b2 |
| π |
| 3 |
| b |
| a |
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
| 3x2 |
| 4b2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
（2）c=
| a2-b2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）由b＞
=c，
知∠F1B1F2=
，
∴
=cos
=
，
设所求椭圆方程为
+
=1，
把点P（1，
）代入，得b2=3，a2=4，
∴椭圆方程为
+
=1．
（2）c=
=1，离心率e=
，
设直线l的方程为y=
x+m，
代入椭圆方程，整理得x2+mx+m2-3=0，
∴x1+x2=-m，x1x2=m2-3，
要证|PM|=|PN|，只需证直线PA的斜率k1与直线PB的斜率k2互为相反数，
k1+k2=
+
=
∵（2y1-3）（x2-1）+（2y2-3）（x1-1）
=（x1+2m-3）（x2-1）+（x2+2m-3）（x1-1）
=2x1x2+（2m-4）（x1+x2）+6-4m
=2（m2-3）+（2m-4）（-m）+6-4m=0
所以，k1+k2=0，
因此|PM|=|PN|．
| a2-b2 |
知∠F1B1F2=
| π |
| 3 |
∴
| b |
| a |
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
设所求椭圆方程为
| 3x2 |
| 4b2 |
| y2 |
| b2 |
把点P（1，
| 3 |
| 2 |
∴椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）c=
| a2-b2 |
| 1 |
| 2 |
设直线l的方程为y=
| 1 |
| 2 |
代入椭圆方程，整理得x2+mx+m2-3=0，
∴x1+x2=-m，x1x2=m2-3，
要证|PM|=|PN|，只需证直线PA的斜率k1与直线PB的斜率k2互为相反数，
k1+k2=
y1-
| ||
| x1-1 |
y2-
| ||
| x2-1 |
| (2y1-3)(x2-1)+(2y2-3)(x1-1) |
| 2(x1-1)(x2-1) |
∵（2y1-3）（x2-1）+（2y2-3）（x1-1）
=（x1+2m-3）（x2-1）+（x2+2m-3）（x1-1）
=2x1x2+（2m-4）（x1+x2）+6-4m
=2（m2-3）+（2m-4）（-m）+6-4m=0
所以，k1+k2=0，
因此|PM|=|PN|．
点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．
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