Question

如图，已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，四边形ABCD为正方形，AA′=2AB=2，E为棱CC′的中点，
(1)求证：A′E⊥平面BDE；
(2)设F为AD中点，G为棱BB′上一点，且BG=BB′，求证：FG∥平面BDE；
(3)在(2)的条件下求二面角G-DE-B的余弦值．

Answer 1

解：(1)连接AC、A′B， ∵四棱柱ABCD-A′B′C′D′为直四棱柱，且四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC，BD⊥AA′， 又AC∩AA′=A， ∴BD⊥面ACEA′， ∵A′E面ACEA′， ∴BD⊥A′E， ， ∴A′B2=BE2+A′E2， ∴A′E⊥BE， 又∵BD∩BE=B， ∴A′E⊥面BDE。 (2)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A′(1，0，2)，E(0，1，1)，， 由(1)知：为面BDE的法向量，， ∴， ∴， 又∵FG面BDE， ∴FG∥面BDE。 (3)设平面DEG的法向量为n=(x，y，z)， ∵，， 则=0×x+1×y+1×z=0，即y+z=0， ，即， 令x=1，解得：y=-2，z=2， ∴n=(1，-2，2)， ∴， ∴二面角G-DE-B的余弦值为。