Question

如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为4的菱形，∠BAD=60°，AA₁=6，P是棱AA₁的中点．求：
（1）截面PBD分这个棱柱所得的两个几何体的体积；
（2）三棱锥A-PBD的高．

Answer 1

分析：（1）利用棱锥的体积，求出底面面积，然后求出棱锥的体积，求出棱柱的体积．
（2）利用等体积法，求出棱锥的高即可．

解答：解：（1）因为直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为4的菱形，∠BAD=60°，
AA₁=6，P是棱AA₁的中点．所以S_底=

1

2

×4×4sin60°=4

3

，V_锥=

1

3

×3×4

3

=4

3

．
V_多面体=V_柱-V_锥=2×4

3

×6-4

3

=44

3

．
（2）S_△PBD=

1

2

BD•

PA2+AB2-( 1 2 BD)2

=

1

2

×4×

9+12

=2

21

，
因为V_P-ABD=V_A-PBD，
所以4

3

=

1

3

×2

21

h，
h=

6 7

7

．
三棱锥A-PBD的高为

6 7

7

．

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，棱柱的结构特征，考查计算能力．