Question

若a³+b³=2,求证:a+b≤2.

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：本题结论的反面比原结论更具体,更简洁,宜用反证法. 证法一：假设a+b＞2,a2-ab+b2=(ab)2+b2≥0. 而取等号的条件为a=b=0，显然不可能，∴a2-ab+b2＞0.则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)＞2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,故a2-ab+b2＜1. ∴1+ab＞a2+b2≥2ab.从而ab＜1. ∴a2+b2＜1+ab＜2. ∴(a+b)2=a2+b2+2ab＜2+2ab＜4. ∴a+b＜2. 这与假设矛盾,故a+b≤2. 证法二:假设a+b＞2,则a＞2-b,故2=a3+b3＞(2-b)3+b3,即2＞8-12b+6b2,即(b-1)2＜0,这不可能,从而a+b≤2. 证法三:假设a+b＞2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)＞8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)＞6.故ab(a+b)＞2. 又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)＞(a+b)(a2-ab+b2). ∴a2-ab+b2＜ab,即(a-b)2＜0. 这不可能，故a+b≤2.