已知函数$f(x)=cos\frac{x}{3}•(sin\frac{x}{3}+\sqrt{3}cos\frac{x}{3})$．写成Asin+B($A＞0.ω＞0.φ∈({-\frac{π}{2}.\frac{π}{2}})$)的形式.并写出其最小正周期.图象的对称轴方程.奇偶性,(2)如果△ABC的三边a.b.c满足b2=ac.且边b所对的角为x.试求x的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．已知函数$f（x）=cos\frac{x}{3}•（sin\frac{x}{3}+\sqrt{3}cos\frac{x}{3}）$．
（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+B（$A＞0，ω＞0，φ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$）的形式，并写出其最小正周期，图象的对称轴方程，奇偶性（不要证明）；
（2）如果△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．

分析将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（1）根据正弦函数的对称轴为$\frac{2x}{3}$+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求出方程的解即可得到f（x）的对称轴，
（2）利用余弦定理表示出cosx，将b²=ac代入并利用基本不等式化简，求出cosx的范围，利用余弦函数的图象与性质即可求出x的范围；由x的范围求出这个角的范围，得出此时正弦函数的值域，即可得到f（x）的值域．

解答解：（1）$f（x）=cos\frac{x}{3}•（sin\frac{x}{3}+\sqrt{3}cos\frac{x}{3}）$．
∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin$\frac{2x}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos$\frac{2x}{3}$）=$\frac{1}{2}$sin$\frac{2x}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{2x}{3}$=sin（$\frac{2x}{3}$+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴最小正周期$\frac{2π}{\frac{2}{3}}$=3π，
对称轴$\frac{2x}{3}$+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{3kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
既不是奇函数又不是偶函数，
（2）由已知b²=ac，$cosx=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-ac}}{2ac}≥\frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$≤cosx＜1，0＜x≤$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$≤$\frac{2x}{3}$+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{9}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（$\frac{2x}{3}$+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴$\sqrt{3}$≤sin（$\frac{2x}{3}$+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
即f（x）的值域为$（{\sqrt{3}，1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$，
所以，$x∈（{0，\frac{π}{3}}]$，f（x）值域为$（{\sqrt{3}，1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．

点评此题属于解三角形题型，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的对称性，以及正弦函数的定义域和值域，其中利用三角形函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．