Question

9．已知f（x）为对数函数，且点P（$\frac{1}{4}$，2）在它的图象上
（1）求f（x）的解析式；
（2）若二次函数g（x）为偶函数，最小值为0，它的图象与对数函数f（x）图象有公共点P，求函数g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=log_ax，（a＞0，且a≠1），将P（$\frac{1}{4}$，2）代入可得f（x）的解析式；
（2）二次函数g（x）为偶函数，最小值为0，则设g（x）=bx²，（b＞0），结合g（x）的图象也过P点求出b值，可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）为对数函数，
∴设f（x）=log_ax，（a＞0，且a≠1），
又∵点P（$\frac{1}{4}$，2）在函数的图象上，
∴${log}_{a}\frac{1}{4}=2$，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}x$；
（2）∵二次函数g（x）为偶函数，最小值为0，
∴设g（x）=bx²，（b＞0），
又∵g（x）的图象与对数函数f（x）图象有公共点P，
∴g（x）的图象也过P点，
∴b×$（\frac{1}{4}）^{2}$=2，
解得：b=32，
∴g（x）=32x²．

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，函数解析式的求法，难度中档．