Question

已知函数f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x²+x）．
（1）若，求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为函数f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x²+x），把a=，得，然后求出其导数F′（x），最后根据导数判断函数的单调性，从而求解；
（2）由题意f（x）≤g（x）恒成立，构造新函数F（x）=f（x）-g（x），然后求出，只要证F（x）的最大值小于0，就可以了．
解答：解：（Ⅰ），
其定义域是（0，+∞）

令F′（x）=0，得x=2，（舍去）．（3分）
当0＜x＜2时，F′（x）＞0，函数单调递增；
当x＞2时，F′（x）＜0，函数单调递减；
即函数F（x）的单调区间为（0，2），（2，+∞）．（6分）
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x），
则，（8分）
当a≤0时，F′（x）≥0，F（x）单调递增，
F（x）≤0不可能恒成立，（10分）
当a＞0时，令F′（x）=0，得，（舍去）．
当时，F′（x）＞0，函数单调递增；
当时，F′（x）＜0，函数单调递减；（13分）
故F（x）在（0，+∞）上的最大值是，
依题意恒成立，
即，
又单调递减，且g（1）=0，
故成立的充要条件是a≥1，
所以a的取值范围是[1，+∞）．
 lnx+2x≤a（x²+x）恒成立，由于x＞0，即：a≥，即只要确定的最大值即可．
设h（x）= h'（x）=
=
当a≤0即h（x）递增，当x＞1时，h'（x）＜0即h（x）递减，则h（x）的最大值是h（1）=1，从而a≥1
点评：此题主要考查函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．