Question

设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S_n，又设T_n=

Sn

Sn+1

，n=1，2，…．求

lim

n→n

Tn．

Answer 1

分析：当公比q满足0＜q＜1时，Sn=

1-qn

1-q

，Tn=1．当公比q=1时，S_n=n，Tn=

Sn

Sn+1

=

n

n+1

．

lim

n→∞

Tn=1．当公比q＞1时，Sn=

qn-1

q-1

，Tn=

qn-1

qn+1-1

，

lim

n→∞

Tn=

1

q

．综合以上讨论，可以求得

lim

n→∞

Tn的值．

解答：解：当公比q满足0＜q＜1时，
Sn=1+q+q2+…+qn-1=

1-qn

1-q

，于是Tn=

Sn

Sn+1

=

1-qn

1-qn+1

=

1-0

1-0

=1．
当公比q=1时，S_n=1+1+…+1=n，于是Tn=

Sn

Sn+1

=

n

n+1

．
因此

lim

n→∞

Tn=

lim

n→∞

n

n+1

=

lim

n→∞

1

1+ 1 n

=1
当公比q＞1时，Sn=1+q+q2+…+qn-1=

qn-1

q-1

于是Tn=

Sn

Sn+1

=

qn-1

qn+1-1

．
因此

lim

n→∞

Tn=

lim

n→∞

qn-1

qn+1-1

=

1

q

lim

n→∞

1-( 1 q )n

1-( 1 q )n+1

=

1

q

．
综合以上讨论得到

lim

n→∞

Tn=

1(当0＜q≤1时) 1 q (当q＞1时)

点评：本题考查等比数列的极限，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免丢解．