Question

（2010•唐山一模）如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，且AA₁=AD=DC=2，M∈平面ABCD，当D₁M⊥平面A₁C₁D时，DM=

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Answer 1

分析：由D₁M⊥平面A₁C₁D可知D₁M₁ ⊥A₁D，由三垂线定理逆定理得到M在面DAA₁D₁上的射影为A，同理M在面DCC₁D₁上的射影为C．利用DM²=DA²+DC²=8 即可求出DM．

解答：解：∵D₁M⊥平面A₁C₁D，∴A1D⊥D₁M，设D₁M在面ADD₁A₁上的射影为D₁M₁，由三垂线定理逆定理，D₁M₁ ⊥A₁D，∵AA₁=AD=DC=2，∴D₁A⊥A₁D，M₁与A重合．同理M在面DCC₁D₁上的射影为C．所以AMCD是正方形，∴DM²=DA²+DC²=8，DM=2

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故答案为：2

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点评：本题考查直线和平面，直线和直线的位置关系，距离的计算，得出AMCD是正方形是关键．考查空间想象、计算的能力．