Question

设函数
（1）若函数f（x）在其定义域内是减函数，求a的取值范围；
（2）函数f（x）是否有最小值？若有最小值，指出其取得最小值时x的值，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）函数的导数f'（x）=2x﹣=
∵函数f（x）在其定义域内是减函数
∴f'（x）≤0在上恒成立
又∵时，2x+1＞0
∴不等式2x²+x﹣a≤0在上恒成立，
即a≥2x²+x在上恒成立
令g（x）=2x²+x，，
则g（x）_max=g（1）=3
∴a≥3（2）
∵f'（x）=，
令f'（x）=0
解得，
由于a＞0，，
∴，
①当即0＜a＜3时，在上f'（x）＜0；
在（x₂，1）上f'（x）＞0，
∴当时，函数f（x）在上取最小值．
②当即a≥3时，在[]上f'（x）≤0，
∴当x=1时，函数f（x）在[]上取最小值．
由①②可知，当0＜a＜3时，函数f（x）在时取最小值；当a≥3时，函数f（x）在x=1时取最小值．