Question

如图，在同一平面内，∠AOB=150°，∠AOC=120°，|

OA

|=2，|

OB

|=3，|

OC

|=4．
（1）用

OB

和

OC

表示

OA

；
（2）若

AD

=λ

AC

，

AC

⊥

BD

，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）以OC所在的直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，写出要用的点的坐标，根据坐标之间的关系写出待定系数的关系，得到结果．
（2）设出D点的坐标，根据两个向量共线的关系，得到系数和坐标之间的关系，把设的点的坐标用系数表示，根据两个向量之间的垂直关系，数量积等于0，求出结果．

解答：解：（1）由题意得∠BOC=90°，以OC所在的直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则原点O（0，0），A（-1，

3

），B（0，-3），C（4，0）
设

0A

=λ1

OB

+λ2

OC

则(-1，

3

)=λ1(0，-3)+λ2(4，0)=(4λ2，-3λ1)
∴λ1=-

3

3

，λ2=-

1

4

∴

OA

=-

3

3

OB

-

1

4

OC

（2）设D（x，y），∵

AD

=λ

AC

∴(x+1，y-

3

)=λ(5，-

3

)
∴

x=5λ-1 y=- 3 λ+ 3

∴D(5λ-1，-

3

λ+

3

)
∵

AC

•

BD

=0
∴(5λ-1)×5+(3+

3

-

3

λ)(-

3

)=0
解得λ=

8+3 3

28

，
答：

OA

=-

3

3

OB

-

1

4

OC

，λ=

8+3 3

28

点评：本题考查向量在几何中的应用，本题解题的关键是利用待定系数法，根据向量之间的关系建立关系式，求出要的结果，本题是一个中档题目．