题目内容

函数f(x)=
x+b1+x2
是定义在（-1，1）上的奇函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数．
分析：（I）已知函数f(x)=
x+b
1+x2
是定义在（-1，1）上的奇函数，根据奇函数的定义f（-x）=-f（x），求出b的值，从而求出函数f（x）的解析式；
（II）可以 设0＜x1＜x2＜1，根据定义法判断f（x2）-f（x1）与0的大小关系，从而进行证明；
解答：解：（ I）∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，f（-x）=-f（x）…（2分）
故
-x+b
1+x2
=-
x+b
1+x2
，
所以b=0，…（4分）
所以 f(x)=
x
1+x2
．…（5分）
（ II） 设0＜x1＜x2＜1，△x=x2-x1＞0，…（6分）
则△y=f（x2）-f（x1）=
x2
1+
x
2
2
-
x1
1+
x
2
1
=
x2-x1+x2
x
2
1
-x1
x
2
2
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)
=
(x2-x1)(1-x1x2)
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)
=
△x(1-x1x2)
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)
…（8分）
∵0＜x1＜x2＜1，
∴△x=x2-x1＞0，1-x1x2＞0…（10分）
∴而 1+
x
2
1
＞0，1+
x
2
2
＞0，
∴△y=f（x2）-f（x1）＞0…（11分）
∴f（x）在（0，1）上是增函数．…（12分）
点评：此题主要考查奇函数的性质及其应用，利用定义法求证函数的单调性，解题的关键是会化简，此题是一道基础题；
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
（2012•成都一模）已知函数f(x)=x+
4
x
-3，x∈(0，4)，当且仅当x=a时，f（x）取得最小值b，则函数g(x)=(
1
a
)|x-b|的图象为（　　）
设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x3-4x+3．有下列命题：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②当x∈[-1，0]时f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
其中真命题的个数为（　　）

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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