Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=，若对任意的x∈[a，a+2]不等式f（x+a）f（x）恒成立，则a的最大值为________．

Answer 1

-4
分析：由当x≥0时，f（x）=，由函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=-，从而可知f（x）在R上是单调递增函数，且满足f（x）=f（3x），再根据单调性把不等式f（x+a）≥f（x）转化为具体不等式在[a，a+2]恒成立，分离参数转化为函数最值，即可得出答案．
解答：当x≥0时，f（x）=，
∵函数是奇函数，∴当x＜0时，f（x）=-，
∴f（x）=，
∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足f（x）=f（3x），
∵不等式f（x+a）≥f（x）=f（3x）在[a，a+2]恒成立，
∴x+a≥3x在[a，a+2]恒成立，即：x≤在[a，a+2]恒成立，
∴a+2，解得a≤-4．
故答案为：-4．
点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性、单调性的应用，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．