Question

（本题满分12分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF 平面EFDC．

（1）当，是否在折叠后的AD上存在一点，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出P点位置，若不存在，说明理由；

（2）设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥ACDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

 

Answer 1

（1）存在，且；（2）当x＝3时，有最大值，最大值为3．

【解析】

试题分析：（1）当时，由题意可知，则考虑取点于处，过点作，交于点，由平行线分段成比例定理易知，所以，又因为，所以且，

（2）根据题意易知为三棱锥的高，则底面的长为，高为，所以，从而可求出当时，有最大值，最大值为3.

试题解析：（1）存在使得满足条件CP∥平面ABEF，且此时． 2分

下面证明： ，过点作MP∥FD，与AF交于点，则有，又FD＝，故MP＝3，又因为EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MPEC，故四边形MPCE为平行四边形，所以PC∥ME，又CP平面ABEF，ME平面ABEF，故有CP∥平面ABEF成立． 6分

（2）因为平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDC＝EF，又AFEF，所以AF⊥平面EFDC．

由已知BE＝x，，所以AF＝x（0x4），FD＝6x．

故．所以，当x＝3时，有最大值，最大值为3.

考点：1.平面图形与立体图形的转化；2.线面平行的判定；3.三棱锥的体积.