Question

已知数列{a_n}（n∈N^*）是首项a₁=1，公差的等差数列，且2a₂，a₁₀，5a₅成等比数列，数列{a_n}前n项和为S_n．
（1） 求数列{a_n}的通项公式；
（2） 若b_n=

1

(n+1)an

，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据2a₂，a₁₀，5a₅成等比数列，求出公差d，即可求出等差数列{a_n}的通项公式，
（2）根据b_n=

1

(n+1)an

，把a_n=n代入，即可把b_n写成b_n=

1

(n+1)an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，再进行求和即可．

解答：解：（1）依题意可得2a₂=2（1+d），a₁₀=1+9d，5a₅=5（1+4d），
∵2a₂，a₁₀，5a₅成等比数列，
∴（1+9d）²=10（1+d）（1+4d），
又∵公差d＞0，
解得d=1，
∴a_n=n，
（2）∵b_n=

1

(n+1)an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…（

1

n

-

1

n+1

 ）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题主要考查数列求和的知识点，解答本题的关键是根据2a₂，a₁₀，5a₅成等比数列求出数列的公差d，本题难度不大．