Question

已知数列满足（）．

（1）若数列是等差数列，求它的首项和公差；

（2）证明：数列不可能是等比数列；

（3）若，（），试求实数和的值，使得数列为等比数列；并求此时数列的通项公式．

 

Answer 1

【答案】

（1）首项为，公差为；（2）证明见解析；（3），，．

【解析】

试题分析：（1）这个问题可以用特殊值法，数列是等差数列，则前3项也成等差数列，利用它就可求出，或者先由已知求出通项公式，再与等差数列的通项公式比较求出，或者假设是等差数列，则代入已知，求出，然后与其通项公式比较，得出；（2）要证数列不是等比数列，只要证明不能成等比数列即可，但本题条件较少，可用反证法，假设它是等比数列，由成等比，求出，然后再求，看是否成等比，如果不成等比，则假设错误，命题得证；（3）数列为等比数列，则是常数，设，这是关于的恒等式，

，，于是有对应项系数相等，由此可求出，从而得到结论．

试题解析：（1）解法一：由已知，，    （1分）

若是等差数列，则，即，   （1分）

得，， 故．       （1分）

所以，数列的首项为，公差为．    （1分）

解法二：因为数列是等差数列，设公差为，则，

故，    （1分）

，又，所以有，    （1分）

又，从而．    （1分）

所以，数列的首项为，公差为．    （1分）

（2）假设数列是等比数列，则有，

即，       （1分）

解得，从而，，     （1分）

又．     （2分）

因为，，，不成等比数列，与假设矛盾，

所以数列不是等比数列．        （2分）

（3）由题意，对任意，有（为定值且），

即．      （2分）

即，   （1分）

于是，，    （1分）

所以，    （2分）

所以，当，时，数列为等比数列．    （1分）

此数列的首项为，公比为，所以．

因此，的通项公式为．     （1分）

考点：(1)等差数列；（2）等比数列；（3）等比数列与恒等式．