Question

已知p:0＜m＜,q:方程mx²-2x+3=0有两个同号且不相等实根，证明p是q的充要条件.

Answer 1

思路分析：证充分性：即证pq,证必要性即证qp,需证两个方面.?

证明：当m=0时，方程化为-2x+3=0,仅有一个实根x=,当m≠0时，且Δ=4-12m＞0即m＜且m≠0时，方程有两个不相等的实根，设两根为x₁,x₂.?

若0＜m＜时，方程有两个不相等的实数根，且x₁+x₂=＞0,x₁x₂=＞0,故方程有两个同号且不相等的实数根.?

即0＜m＜方程mx²-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根.?

若方程mx²-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根，则有

∴0＜m＜.

即方程mx²-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根0＜m＜.?

所以q是p的充要条件.

温馨提示

对含参数的命题的充要条件的证明中常需对参数分类讨论，对一元二次方程根的问题讨论，要依据判别式、韦达定理或数形结合来综合研究.