题目内容

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC⊥BC，AC=BC=BB₁，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（2）求二面角B₁-AD-B的正弦值；
（3）判断在线段B₁B上是否存在一点M，使得A₁M⊥B₁D？若存在，求出 $数学公式$ 的值；若不存在，请说明理由．

（1）证明：以C为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
设AC=BC=BB₁=2，则A₁（2，0，2），C（0，0，0），D（0，1，0），A（2，0，0），B₁（0，2，2），B（0，2，0）
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
设平面AB₁D的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z），则由 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，故可取 $\text{[math]}$ =（1，2，-1）
∵ $\text{[math]}$ =0，∴A₁C∥平面AB₁D；
（2）解：由（1）知平面AB₁D的法向量为 $\text{[math]}$ =（1，2，-1），平面ABD的法向量为 $\text{[math]}$ =（0，0，2）
∴二面角B₁-AD-B的余弦值为| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |
∴二面角B₁-AD-B的正弦值为 $\text{[math]}$ ；
（3）解：设M（0，2，t），则 $\text{[math]}$ =（-2，2，t-2）， $\text{[math]}$ =（0，-1，-2）
若A₁M⊥B₁D，则 $\text{[math]}$ ，∴-2-2（t-2）=0，∴t=1
∴ $\text{[math]}$ =1时，A₁M⊥B₁D．
分析：（1）以C为坐标原点，建立如图所示的坐标系，求出面AB₁D的法向量，证明 $\text{[math]}$ =0，即可得到结论；
（2）确定平面AB₁D的法向量、平面ABD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论；
（3）设出M的坐标，利用则 $\text{[math]}$ ，可得结论．
点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查向量知识的运用，解题的关键是正确建立坐标系，属于中档题．