Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求二面角P-BC-A的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）取PD的中点M，由三角形的中位线定理，结合已知条件，易证明四边形MEBF是平行四边形，且BE∥MF，结合线面平行的判定定理，即可得到BE∥平面PDF；
（2）连接BD，由已知中底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，可得△ABD为等边三角形，又由PA⊥平面ABCD，F是AB的中点，结合线面垂直的性质，及等边三角形“三线合一”可得：DF⊥AB，PA⊥DF，结合线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PDF⊥平面PAB；
（3）过点A做AH⊥CB延长线于H，可得∠PHA为二面角P-BC-A的平面角，解△PHA即可求出二面角P-BC-A的大小．
解答：证明：（1）取PD的中点M，
∵E是PC的中点
∴ME是△PCD的中位线
∴ME∥FB
∴四边形MEBF是平行四边形∴BE∥MF
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF
∴BE∥平面PDF．
（2）连接BD，易得△ABD为等边三角形
又由F为AB的中点
∴DF⊥AB
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DF
又由PA∩AB=A
∴DF⊥平面PAB
又∵DF?平面PDF
∴平面PDF⊥平面PAB．
解：（3）过点A做AH⊥CB延长线于H，因为PA⊥面ABCD，所以PH⊥BC，既∠PHA为二面角P-BC-A的平面角，
在Rt△ABC中，所以∠PHA=30°
既二面角P-BC-A的大小为30°．
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，其中（1）的关键是证得BE∥MF，（2）的关键是说不得DF⊥平面PAB，（3）的关键是确定出∠PHA为二面角P-BC-A的平面角．