Question

设关于x的一元二次方程x²+2ax+4-b²=0．
（1）如果a∈{0，1，2，3}，b∈{0，1，2}，求方程有实根的概率；
（2）如果a∈[0，3]，b∈[0，2]，求方程有实根的概率；
（3）由（2），并结合课本“撒豆子”试验，请你设计一个估算圆周率π的实验，并给出计算公式．

Answer 1

分析：（1）由于a∈{0，1，2，3}，b∈{0，1，2}，则基本事件总数为3X4=12种，其中满足条件方程有实根，即△≥0，即a²+b²≥4共有8种，代入古典概型公式，即可得到答案．
（2）由于a∈[0，3]，b∈[0，2]，则基本事件对应的平面区域面积为3X2=6，其中满足条件方程有实根，即△≥0，即a²+b²≥4的平面区域面积为6-π，代入几何概型公式，即可得到答案．
（3）根据（2）中结论，我们易根据频率≈概率的原则，得到当n很大时，比值

n

m

，即频率应接近于概率P，于是有P≈

m

n

．进而结合（2）的答案，得到结论．

解答：（本小题满分15分）
解：由方程有实根，则△≥0，得，a²+b²≥4
（1）记“方程有实根”为事件A，则P(A)=

8

12

=

2

3

．
答：方程有实根的概率为

2

3

．…（5分）
（2）记“方程有实根”为事件B，则．
答：方程有实根的概率为1-

π

6

．…（10分）
（3）向矩形内撒n颗豆子，其中
落在

1

4

圆内的豆子数为m，由（2）
知，豆子落入

1

4

圆内的概率P=

π

6

，
那么，当n很大时，比值

n

m

，即频率应接近于概率P，于是有P≈

m

n

．
由此得到π≈

6n

m

…（15分）

点评：本题考查的知识点是几何概型与古典概型，根据已知条件计算全部基本事件的个数（几何量）和满足条件的基本事件的个数（几何量）是解答概率问题的关键．（1）（2）中没有结论或假设共扣（2分），（3）中意思表述基本清楚即给全分，也可以直接利用（2）的结论推出公式，公式错误扣（2分）．