Question

已知向量

a

=（2cos

x

2

，tan（

x

2

+

π

4

）），

b

=（

2

sin（

x

2

+

π

4

），tan（

x

2

-

π

4

）），令f（x）=

a

•

b

．
（1）求当x∈（

π

2

，

2π

3

）时函数f（x）的值域；
（2）是否存在实数x∈[0，π]，使f（x）+f′（x）=0（其中f′（x）是f（x）的导函数）？若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为

2

sin（x+

π

4

），根据x的范围，求出函数的值域．
（2）先求出 f′（x）的解析式，由f（x）+f′（x）=0 化简可得

2

cosx=0．再由x∈[0，π]，可得当x=

π

2

时，

2

cosx=0成立，但此时，tan（

x

2

+

π

4

）不存在，

b

无意义，由此得出结论．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cos

x

2

•

2

sin（

x

2

+

π

4

）+tan（

x

2

+

π

4

）tan（

x

2

-

π

4

）
=2cos

x

2

 （sin

x

2

+cos

x

2

）-1=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）．
当x∈（

π

2

，

2π

3

）时，x+

π

4

∈（

3π

4

，

11π

12

），sin（x+

π

4

）∈（

6 - 2

4

，

2

2

）．
故函数的值域为 （

3 -1

2

，1）．
（2）∵由上可得 f′（x）=

2

cos（x+

π

4

），由f（x）+f′（x）=0，
可得 

2

sin（x+

π

4

）+

2

cos（x+

π

4

）=0． 即

2

cosx=0．
再由实数x∈[0，π]，可得当x=

π

2

时，

2

cosx=0成立，但此时，tan（

x

2

+

π

4

）不存在，

b

无意义，
故不存在实数x∈[0，π]，使 f（x）+f′（x）=0 成立．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的正弦、余弦公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．