Question

已知矩形ABCD，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D’EC的位置，使二面角D'-EC-B是直二面角．
（1）证明：BE⊥CD’；
（2）求直线EC与面D'BC的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中矩形ABCD，AD=2AB=2，点E是AD的中点，可得△BAE，△CDE都是等腰直角三角形，进而得到BE⊥EC，又由二面角D'-EC-B是直二面角，由面面垂直的性质可得BE⊥面D'EC，再由线面垂直的性质，可得BE⊥CD’；
（2）过E作EH⊥BD’于H，连接HC，由（1）中结论，可进一步判断出∠HCE是直线EC与平面BD'C的所成角，解Rt△ECH即可求出直线EC与平面BD'C的所成角余弦值．

解答：解：（1）∵AD=2AB=2，E是AD的中点，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，
即BE⊥EC
又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC
∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．               …（7分）
（2）过E作EH⊥BD’于H，连接HC．
∵由（1）BE⊥CD’，又ED’⊥CD’
∴CD’⊥平面BED’
∴平面BCD’⊥平面BED’又EH⊥BD’
∴EH⊥平面BCD’
∴∠HCE是直线EC与平面BD'C的所成角．…（10分）
在Rt△ECH中，
EC=

2

，EH=

2 3

，sin∠ECH=

EH

EC

=

1

3

，
∴cos∠ECH=

6

3

∴直线EC与平面BD'C的所成角余弦值为

6

3

．…（14分），

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的性质，其中（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直与面面垂直之间的相互转化，（2）的关键是构造出∠HCE是直线EC与平面BD'C的所成角．