Question

（2009•江西）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；
（3）求点N到平面ACM的距离．

Answer 1

分析：法一：（1）要证平面ABM⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；
（ 2）先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h，即可求直线PC与平面ABM所成的角；
（3）先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的

5

9

，设点P到平面ACM距离为h，再利用第二问的结论即可得到答案．
法二：建立空间直角坐标系，
（ 2）求出平面ACM的一个法向量

n

=(x，y，z)，结合

CD

然后求出sinα=|

CD • n

| CD || n |

|=

6

3

即可．
（3）先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的

5

9

，再利用向量的射影公式直接求点P到平面ACM距离h即可得到结论．

解答：解：
方法一：（1）图1依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC．
又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，
所以平面ABM⊥平面PCD．
（2）由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，则M是PD的中点可得AM=2

2

，MC=

MD2+CD2

=2

3

则S△ACM

1

2

AM•MC=2

6

设D到平面ACM的距离为h，由V_D-ACM=V_M-ACD即2

6

h=8，
可求得h=

2 6

3

，
设所求角为θ，则sinθ=

h

CD

=

6

3

，θ=arcsin

6

3

．
（3）可求得PC=6．因为AN⊥NC，由

PN

PA

=

PA

PC

（7），得PN=

8

3

（8）．所以NC：PC=5：9（9）．
故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的

5

9

．
又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为

5

9

h=

10 6

27

．
方法二：
（1）同方法一；
（2）如图2所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；
设平面ACM的一个法向量

n

=(x，y，z)，由

n

⊥

AC

，

n

⊥

AM

可得：

2x+4y=0 2y+2z=0

，令z=1，则

n

=(2，-1，1)．
设所求角为α，则sinα=|

CD • n

| CD || n |

|=

6

3

，
所以所求角的大小为arcsin

6

3

．
（3）由条件可得，AN⊥NC．在Rt△PAC中，PA²=PN•PC，所以PN=

8

3

，则NC=PC-PN=

10

3

，

NC

PC

=

5

9

，
所以所求距离等于点P到平面ACM距离的

5

9

，设点P到平面ACM距离为h
则h=|

AP • n

| n |

|=

2 6

3

，
所以所求距离为

5

9

h=

10 6

27

．

点评：本题考查直线与平面所成的角，平面与平面垂直的判定，三垂线定理，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．再用空间向量求线面角时，关键是求出平面的法向量以及直线的方向向量．