Question

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、三点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为（a＞b＞0），则由题意可求a=2，又点在椭圆E上，代入椭圆方程可求b，可求
当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为（a＞b＞0），则由题意可得b=2，又点在椭圆E上，代入可求a，结合椭圆a＞b可求
解法二：设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），把A（-2，0）、B（2，0）、代入椭圆E的方程，可求m，n，进而可求椭圆方程
（Ⅱ）证法一：将直线l：y=k（x-1）代入椭圆E的方程并整理，，设直线l与椭圆E的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由根与系数的关系，得x₁+x₂，x₁x₂，从而可
求出直线AM的方程，它与直线x=4的交点坐标为P，同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为Q 通过证明P、Q两点的纵坐标相等可证P，Q重合即可证
证法二：将直线l：y=k（x-1），代入椭圆E的方程，直线l与椭圆E的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由根与系数的关系，得x₁+x₂，x₁x₂，从而可求直线AM、直线BN的方程由直线AM与直线BN的方程消去y，可求x=4即可证
证法三：将直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程，设直线l与椭圆E的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由根与系数的关系，得x₁+x₂，x₁x₂，消去k²得，2x₁x₂=5（x₁+x₂）-8．，从而可求直线AM、BN的方程，由直线AM与直线BN的方程消去y得可求x=4即证
解答：解（Ⅰ）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为（a＞b＞0），
则a=2，又点在椭圆E上，得．解得b²=3．
∴椭圆E的方程为．
当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为（a＞b＞0），
则b=2，又点在椭圆E上，得．解得a²=3，这与a＞b矛盾．
综上可知，椭圆E的方程为．                               …（4分）
解法二：设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），
将A（-2，0）、B（2，0）、代入椭圆E的方程，得解得，．
∴椭圆E的方程为．                                     …（4分）
（Ⅱ）证法一：将直线l：y=k（x-1）代入椭圆E的方程并整理，得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，…（6分）
设直线l与椭圆E的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根与系数的关系，得，．              …（8分）
直线AM的方程为：，它与直线x=4的交点坐标为，同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为．       …（10分）
下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等：P
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴=．
因此结论成立．
综上可知，直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．                …（14分）
证法二：将直线l：y=k（x-1），代入椭圆E的方程并整理，得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，…（6分）
设直线l与椭圆E的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根与系数的关系，得，．              …（8分）
直线AM的方程为：，即．
直线BN的方程为：，即．   …（10分）
由直线AM与直线BN的方程消去y，得=．
∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．                         …（14分）
证法三：将直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程并整理，得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，…（6分）
设直线l与椭圆E的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根与系数的关系，得，．              …（8分）
消去k²得，2x₁x₂=5（x₁+x₂）-8．                               …（10分）
直线AM的方程为：，即．
直线BN的方程为：，即．     …（12分）
由直线AM与直线BN的方程消去y得，．
∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．                     …（14分）
点评：本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程等基础知识，考查待定系数法、分类与整合、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力