题目内容
13．
如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题． （1）求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式．
（2）当你第四次距离地面只有60.5米时用了多少时间？
（3）当你登上摩天轮两分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问你的朋友登上摩天轮多少时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，并求出最大值．
分析 （1）依据题意可知应建立余弦型函数模型解题，由摩天轮的转动周期为12分钟，振幅为40，可以求得函数解析式；
（2）令40.5-40cos$\frac{π}{6}$t=60.5，从而得到$\frac{π}{6}$t=2kπ+$\frac{2}{3}π$或2kπ+$\frac{4}{3}π$，k∈N，则$\frac{π}{6}$t=2π+$\frac{4}{3}π$，解得t=20（分钟）；
（3）建立坐标系，设你到达点P，你朋友到达点Q，只有PQ⊥地面时，你和你的朋友与地面的距离之差最大，容易求出t=2（分钟），最大距离为PQ=40（米）．
解答 解：（1）由已知可设y=40.5-40cosωt，t≥0由周期为12分钟可知，
当t=6时，摩天轮第一次到达最高点，即函数第一次取得最大值，所以6ω=π，即ω=$\frac{π}{6}$，
所以y=40.5-40cos$\frac{π}{6}$t，t≥0
（2）令40.5-40cos$\frac{π}{6}$t=60.5，则cos$\frac{π}{6}$t=$\frac{1}{2}$，则$\frac{π}{6}$t=2kπ+$\frac{2}{3}π$或2kπ+$\frac{4}{3}π$，k∈N
故当你第四次距离地面60.5米时，k=1，即$\frac{π}{6}$t=2π+$\frac{4}{3}π$，解得t=20（分钟）
（3）建立如图坐标系，设你到达点P，你朋友到达点Q，只有PQ⊥地面时，你和你的朋友与地面的距离之差最大，
如图容易知道朋友转了$\frac{π}{3}$时符合要求，$\frac{π}{6}$t=$\frac{π}{3}$，即t=2（分钟），
最大距离为：PQ=r=40（米）
故答案为：（1）y=40.5-40cos$\frac{π}{6}$t，t≥0
（2）20分钟
（3）2分钟后，最大值为40米．
点评 本题考查了三角函数的图象和性质，涉及实际应用，属于中档题．
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如图在三棱锥P-ABC中，已知AB⊥BC，PA⊥BC，PA=AB=BC=PB，点D，E分别为PB，BC的中点．