Question

已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的值域；
（3）先将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，再将的图象横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，求证：直线与的图象相切于

Answer 1

（1）；（2）；（3）详见解析

试题分析：（1）本小题首先需要把函数化简可得，然后根据三角函数周期公式可求得目标函数最小正周期；（2）首先根据的取值范围求得，结合正弦函数的图像可求得，从而可求得函数的值域；（3）首先根据函数图像的各种平移变化，可求得，然后利用导数的几何意义求得曲线的切线方程，从而可证明结论.
试题解析：(1)由已知可得：

故函数的最小正周期
（2）因为，所以
所以
所以
即
（3）将函数的图象向左平移个单位得到函数，
再将的图象横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变，
得到函数。
因为，
所以切线的斜率，
而切点为
所以的切线方程为，即
所以直线与的图象相切于