Question

已知命题P：?x₀∈[-1，1]，满足x₀²+x₀-3a≥0，q：y=（2a-1）^x为减函数．若命题p∧q 为真命题，则实数a的取值范围

1

2

＜a≤

2

3

．

Answer 1

分析：通过分类讨论求出p为真命题的a的范围，再求出命题q为真命题的a的范围，“命题p∧q”为真命题，即命题q 命题p都是真命题，写出a的范围．

解答：解：∵?x₀∈[-1，1]，满足x₀²+x₀-3a≥0
∴令g（x）=x²+x=（x+

1

2

）²-

1

4

，
∵x₀∈[-1，1]，∵f（-1）=0，f（1）=2，
∴g（x）在[-1，1]上的最大值为2，
∴3a≤2，即a≤

2

3

故命题P：a≤

2

3

∵y=（2a-1）^x为减函数，∴0＜2a-1＜1
即

1

2

＜a＜1
命题q：

1

2

＜a＜1
由于命题p∧q 为真命题，则

a≤ 2 3 1 2 ＜a＜1

，即为

1

2

＜a≤

2

3

故答案为

1

2

＜a≤

2

3

点评：本题是一道综合题，主要利用命题的真假关系，将复合命题的真假转化为简单命题的真假来解决．