Question

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线⊥x轴与点C， ，,动点到直线的距离是它到点D的距离的2倍。

（I）求点的轨迹方程

（II）设点K为点的轨迹与x轴正半轴的交点,直线交点的轨迹于两点（与点K不重合）,且满足.动点满足,求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

解： （I）依题意知,点的轨迹是以点为焦点、直线为其相应准线,离心率为的椭圆。设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,

又，，∴点在x轴上,且,则3

解之得：,.  

∴坐标原点为椭圆的对称中心.

∴动点M的轨迹方程为：.  

（II）设,设直线的方程为,代入得

.     

,.

  

,,

,

.

解得: (舍).    

设,由知,.

直线的斜率为. 

当时,;

当时,,

时取“=”）或时取“=”），

     

综上所述