题目内容

若a＞0， $数学公式$ = $数学公式$ ，则a=， $数学公式$ =．

$\text{[math]}$ 3
分析：由a＞0， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，由此能求出a和 $\text{[math]}$ 的值．
解答：∵a＞0， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴a= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查指数与对数式和对数式的互化，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

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下列命题中：
①若

；
②若不平行的两个非零向量

）=0；
③若

；
其中真命题的个数是（　　）

以下四个命题说法正确的是（　　）

A、?n∈R，n²≥n

B、“x≠0”是“x＞0”的必要不充分条件

C、若a，b为实数，则（a×b）²=a²×b²，类比推出；若a，b为复数，则（a+b）²=a²+b²

D、a，b是实数，则“a＜0且b＜0”是“a+b＜0且ab＞0”的充分不必要条件

下列叙述错误的是

①②③④⑤⑥

①②③④⑤⑥

；
②若非零向量

方向相同或相反，则

之一的方向相同；
③|

方向相同；
④向量

共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得

已知函数f(x)＝alnx－x²＋1.

(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；

(2)若a<0，且对任意x₁、x₂∈(0，＋∞)，都|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|，求a的取值范围．

【解析】第一问中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

第二问中，利用当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x₁≤x₂，则|f(x₁)－f(x₂)|＝f(x₁)－f(x₂)，|x₁－x₂|＝x₂－x₁，

∴|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|等价于f(x₁)－f(x₂)≥x₂－x₁，

即f(x₁)＋x₁≥f(x₂)＋x₂，结合构造函数和导数的知识来解得。

(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

(2)当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x₁≤x₂，则|f(x₁)－f(x₂)|＝f(x₁)－f(x₂)，|x₁－x₂|＝x₂－x₁，

∴|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|等价于f(x₁)－f(x₂)≥x₂－x₁，即f(x₁)＋x₁≥f(x₂)＋x₂，

令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x²＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是减函数，

∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

∴－2x²＋x＋a≤0在x>0时恒成立，

∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

∴a的取值范围是

下列使用类比推理所得结论正确的序号是（）。
（1）直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c。类推出：向量

（2）同一平面内，三条不同的直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b。类推出：空间中，三条不同的直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b
（3）任意a，b∈R，a-b>0则a>b。类比出：任意a，b∈C，a-b>0则a>b
（4）以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程是x²+y²=r²。类推出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程是x²+y²+z²=r²