Question

二次函数f（x）的二次项系数为负，且对任意实数x，恒有f（x）=f（4-x），若f（1-3x²）＜f（1+x+x²），则x的取值范围是

（-∞，-

1

4

）∪（0，+∞）

．

Answer 1

分析：由已知中，二次函数f（x）的二次项系数为负，且对任意实数x，恒有f（x）=f（4-x），我们易判断出二次函数图象的形状，根据二次函数的性质，我们可以将f（1-3x²）＜f（1+x+x²）转化为一个绝对值不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：∵对任意实数x，恒有f（x）=f（4-x），
则x=2是函数f（x）的对称轴，
又由二次函数f（x）的二次项系数为负，
故函数的开口方向朝下
则f（1-3x²）＜f（1+x+x²），可转化为
|2-（1-3x²）|＞|2-（1+x+x²）|
即|3x²+1|＞|-1+x+x²|
解得x∈（-∞，-

1

4

）∪（0，+∞）
故答案为：（-∞，-

1

4

）∪（0，+∞）．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，一元二次不等式的解法，其中根据二次函数的图象分析函数的性质，进而将不等式转化为一个一元二次不等式是解答本题的关键．