Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f′（0）=2n（n∈N^*）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}满足，且a₁=4，求数列{a_n}的通项公式；
（3）对于（2）中的数列{a_n}，求证：＜5．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f′（0）=2n建立关于a与b的方程组，解之即可；
（2）根据条件可得，然后利用叠加法可求出数列{a_n}的通项公式；
（3）利用放缩法将通项进行变形，然后利用裂项求和法进行求和，从而证得结论．
解答：解：（1）由f'（x）=2ax+b，∴解之得，
即；
（2）∵，
∴，
∴，由累加得，
∴；
（3）＜，当n=1时，显然成立；
当n≥2时，＜5．
点评：本题主要考查了利用叠加法求解数列的通项公式，以及放缩法证明不等式，同时考查了计算能力，属于中档题．