Question

【题目】已知函数，函数.

（1）求函数在上的最小值；

（2）函数，若在其定义域内有两个不同的极值点，求a的取值范围；

（3）记的两个极值点分别为，且.已知，若不等式恒成立，求的取值范围.注：为自然对数的底数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）计算，判断在的符号，可得的单调性，可得结果.

（2）计算，采用等价转化思想，有两个不同的实数根，然后分离参数，并构建新的函数，判断新函数的单调性，求得极值，最后与比较大小，可得结果.

（3）通过两边取对数以及，化简式子， 可得，利用换元法并构造函数，根据导数研究函数的性质，可得结果

（1）由题可知：

当，

所以在区间单调递增，

所以，

（2），定义域为

则，

由在其定义域内有两个不同的极值点

则在有两个不同的实数根

等价于在有两个不同的实数根

等价于函数图象在有两个交点

则

令，则

令，则

所以在递增，在递减

则有极大值为，

当时，递增，且

所以当时，

所以

（3）由（2）可知：

由两个极值点分别为

所以

所以

则

由，所以两边取对数可知：

，所以

则，所以

由

所以

令

所以，则

若不等式恒成立

等价于，恒成立

令，

则

当，即，可得

所以在单调递增，又

所以当时，恒成立

当，即时，

若，

若，

所以在递增，在递减

又，所以当时，不恒成立

综上所述：