Question

已知函数f（x）=lnx+x，g（x）=

a

x

-x-1（a＞0）．
（I）求函数F（x）=f（x）+g（x）在（0，e]上的最小值；
（II）对于正实数m，方程2mf（x）=x²有唯一实数根，求m的值．

Answer 1

（I）函数F（x）=f（x）+g（x）=

a

x

-1+lnx的定义域为{x|x＞0}
因为F′（x）=-

a

x2

+

1

x

，a＞0时，解F′（x）＞0，即-

a

x2

+

1

x

＞0，
得x＞a，所以在（a，+∞）上F（x）单调递增，
解F′（x）＜0，即-

a

x2

+

1

x

＜0，得0＜x＜a，
所以在（0，a）上，F（x）单调递减，
因此：当a＜e时，函数在x=a处取得最小值F（a）=lna，
当a＞e时，函数在x=a处取得最小值F（e）=

a

e

综上：当0＜a≤e时，函数F（x）在区间（0，e]上最小值F（a）=lna；
当a＞e时，函数F（x）在区间（0，e]上最小值F（e）=

a

e

；
（II）∵方程2mf（x）=x²中唯一实数解，
∴x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，
设g（x）=x²-2mlnx-2mx，
∴g′（x）=

2x2-2mx-2m

x

，
令g′（x）=0，得x²-mx-m=0．
∵m＞0，∴△=m²+4m＞0，
方程有两异号根，设为x₁0，
∵x＞0，∴x₁应舍去．
当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上单调递减，
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上单调递增，
当x=x₂时，g′（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0，
则

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即

x 22 -2mlnx2-2mx2=0 x 22 -mx2-m=0

，
∴2mlnx₂+mx₂-m=0，
∵m＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0（*），
设函数h（x）=2lnx+x-1，
∵当x＞0时，h（x）是增函数，
∴h（x）=0至多有一解，
∵h（1）=0，
∴方程（*）的解为x₂=1，
∴代入方程组解得m=

1

2

；