Question

已知函数f （x）为R上的奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，
（1）求证：函数f （x）在（-∞，0）上也是增函数；
（2）如果f （）=1，解不等式-1＜f （2x+1）≤0．

Answer 1

【答案】分析：（1）设x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，根据函数f （x）为R上的奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，由定义可证函数f （x）在（-∞，0）上也是增函数．
（2）由函数的单调性即可求出不等式的解集．
解答：解：（1）令x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，
∵函数f（x）在（0，+∞）上为增函数∴f（-x₁）＞f（-x₂）
又∵函数f（x）为奇函数
∴-f（x₁）＞-f（x₂）
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数
（2）∵f（-0）=f（0）∴f（0）=0
∵=-f（）=-1∴f（-）＜f（2x+1）≤f（0）
又f（x）在R上单调递增∴
∴不等式-1＜f （2x+1）≤0的解集为：{x|}．
点评：本题主要考查函数的性质--函数的奇偶性和单调性．