Question

已知数列{a_n}中，所有项都是正数，且a_n+1≤a_n-a²_n，求证：a_n＜.

Answer 1

思路分析：（Ⅰ）当n=1时，由a₂≤a₁-a₁²=a₁(1-a₁)，且a₁＞0,a₂＞0，可得a₁＜1，命题成立.

（Ⅱ）假设当n=k(k≥1)时命题成立，即a_k＜.

则当n=k+1时，a_k+1≤a_k-a²_k=a_k(1-a_k)，

∵a_k＜，

∴1-a_k＞1-=.

    由于以上二式不是同向不等式，所以无法完成由k到(k+1)的证明.所以我们可以利用函数f(x)=-x²+x的单调性进行证明：函数f(x)=-x²+x的最大值为f()=，且在(-∞,］上为增函数.

证明：（Ⅰ）当n=1时，由a₂≤a₁-a₁²=a₁(1-a₁)，且a₁＞0,a₂＞0，可得a₁＜1，命题成立.

而a₂≤a₁-a₁²=f(a₁)≤＜，故n=2时命题也成立.

（Ⅱ）假设n=k(k≥2)时，命题成立，即a_k＜，

因为函数f(x)=-x²+x在(-∞,］上为增函数，

所以由a_k＜≤及a_k+1≤a_k-a²_k得

a_k+1≤f(a_k)＜f()=+=＜,即a_k+1＜，

所以当n=k+1时，命题也成立.

根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知，对任何n∈N^*，a_n＜.