Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别是,是椭圆外的动点,满足.点是线段与该椭圆的交点,点在线段上,并且满足,.

(1)当时,用点P的横坐标表示；

(2)求点的轨迹的方程；

(3)在点的轨迹上,是否存在点,使的面积?若存在,求出的正切值；若不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，正切值为2

【解析】

（1）设出点的坐标，根据点在椭圆上，代入求解即可表示；

（2）根据几何意义求解轨迹方程；

（3）若存在点,使的面积，即，结合向量的数量及关系，表示面积关系得正切值.

(1)设点的坐标为，

由在椭圆上,得,

由,知,所以.

(2)设点的坐标为，

当时，点和点在轨迹上.

当且时,由,得.

又,所以为线段的中点.

在中,,所以有,

综上所述,点的轨迹的方程是.

(3)上存在点使的充要条件是.

, ,所以当时,存在点,使;

当时,不存在满足条件的点.

当时,,

由,

,

所以，

,

即，

得.